如何使用numpy（和scipy）查找函数的全零？

Question

假设我f(x)在a和之间定义了一个函数b。此函数可以有多个零，但也可以有许多渐近线。我需要检索此函数的 所有 零。最好的方法是什么？

实际上，我的策略如下：

1. 我在给定数量的点上评估我的功能
2. 我检测是否有体征变化
3. 我发现正在改变符号的点之间为零
4. 我验证找到的零是否真的是零，或者这是一个渐近线

   U = numpy.linspace(a, b, 100) # evaluate function at 100 different points
   

   c = f(U)
   s = numpy.sign(c)
   for i in range(100-1):
   if s[i] + s[i+1] == 0: # oposite signs
   u = scipy.optimize.brentq(f, U[i], U[i+1])
   z = f(u)
   if numpy.isnan(z) or abs(z) > 1e-3:
   continue
   print(‘found zero at {}’.format(u))
   
   

除了我看到两个潜在的问题外，该算法似乎有效：

1. 它不会检测到不与x轴交叉的零（例如，在类似的函数中f(x) = x**2），但是，我认为在我正在评估的函数中不会出现零。
2. 如果离散点太远，则它们之间可能存在多个零，并且算法可能无法找到它们。

您是否有更好的策略（仍然有效）来找到函数的所有零？

我认为这个问题并不重要，但是对于那些好奇的人，我正在研究光纤中波传播的特征方程。该函数看起来像（其中V和ell是先前定义的，并且ell是一个正整数）：

def f(u):
    w = numpy.sqrt(V**2 - u**2)

    jl = scipy.special.jn(ell, u)
    jl1 = scipy.special.jnjn(ell-1, u)
    kl = scipy.special.jnkn(ell, w)
    kl1 = scipy.special.jnkn(ell-1, w)

    return jl / (u*jl1) + kl / (w*kl1)

Answer 1

我看到的主要问题是，如果您实际上可以找到 所有的
根源，就像注释中已经提到的那样，这并非总是可能的。如果您确定您的功能不完全是病态的（sin(1/x)已经提到过），那么下一个就是您对缺少一个或多个根的容忍度是多少。换句话说，要确保您没有错过任何东西，要准备多长时间
—据我所知，没有通用的方法可以为您隔离所有根，因此您必须自己做。您所显示的已经是一个合理的第一步。几点评论：

• 布伦特的方法在这里确实是一个不错的选择。
• 首先，应对分歧。由于在您的函数中分母中存在贝塞尔，因此您可以首先求解 它们的根源 -更好地在例如Abramovitch和Stegun中查找它们（Mathworld链接）。这将比使用您正在使用的临时网格更好。
• 你可以做什么，一旦你发现了两个根或分歧，x_1并且x_2，在该区间再次搜索[x_1+epsilon, x_2-epsilon]。继续，直到没有更多的根被找到（Brent的方法保证收敛到 一个 根，提供有一个）。
• 如果您无法列举所有差异，则可能需要更加仔细地核实候选人是否确实存在差异：x不仅要检查f(x)较大的 物体，还应检查例如（1e-8，1e）的|f(x-epsilon/2)| > |f(x-epsilon)|多个值epsilon-9、1e-10等）。
• 如果要确保没有简单地接触零的根，请查找函数的极值，对于每个极值x_e，请检查的值f(x_e)。